photo KoleksiSkripsiHeader.gif HP CS Kami 0852.25.88.77.47(AS), 0857.0.1111.632(IM3), email:IDTesis@gmail.com

GENERAL LEAST SQUARE

JURNAL BISNIS DAN EKONOMI, MARET 1999

GENERAL LEAST SQUARE : SOLUSI ATAS GEJALA

HETEROSKEDASTISITAS

Oleh : Sri Nawatmi dan Agung Nusantara

STIE Stikubank Semarang

ABSTRAK

Penyimpangan asumsi homoskedastisitas terhadap operasi OLS sekalipun tidak merusak sifat unbiased dan konsistensinya, namun merusak efisiensi estimatornya. Rusaknya sifat efisiensi estimator OLS tersebut menyebabkan hasil pengujian hipotesisnya menjadi meragukan.

GLS, sebagai salah satu bentuk estimasi least square, merupakan bentuk estimasi yang dibuat untuk mengatasi sifat heteroskedastisitas yang memiliki kemampuan untuk mempertahankan sifat efisiensi estimatornya tanpa harus kehilangan sifat unbiased dan konsistensinya.

PENDAHULUAN

Estimasi Ordinary Least Square (OLS), sebagai salah satu bentuk estimasi Least Square (LS), merupakan bentuk estimasi yang paling banyak dipelajari dan digunakan sebagai alat analisis. Kepopuleran OLS sebenarnya lebih didorong oleh kesederhanaan bentuk analisisnya. Namun, sebagai alat yang sederhana, maka OLS perlu didukung oleh kondisi data ideal, sebagaimana ditunjukkan oleh asumsi klasik OLS.

Ada beberapa asumsi klasik yang harus dipenuhi oleh bentuk estimasi OLS agar hasil estimasinya dapat diandalkan. Salah satu asumsi penting yang akan dibicarakan dalam tulisan ini adalah asumsi homoskedastisitas. Asumsi homoskedastisitas ini berkaitan dengan kesalahan penggangu (e ). Asumsi ini dirumuskan sebagai var (e ) = E(ei - Eei )2 = E(e 2 ) = s2 = konstan untuk semua i. Sifat heteroskedastisitas potensial untuk dialami oleh data cross-section yang biasanya merupakan data hasil rata-rata dari suatu wilayah. Disamping itu gejala heteroskedastisitas ini juga potensial untuk dialami oleh model random coefficient, sebagaimana yang diperkenalkan oleh Hildreth-Houck (Judge, 1985:419-420; Thomas, 1996: 279-282).

PENDETEKSIAN HETEROSKEDASTISITAS

Ada berbagai cara untuk dapat mendeteksi adanya gejala heteroskedastisitas, yaitu, antara lain, the White test, Harvey test, Glejser test, ARCH test, Breusch-Pagan-Godfrey test. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan serba ringkas mengenai pengujian-pengujian tersebut.

The White’s test. Uji ini didasarkan atas pendekatan formal terhadap jenis pencarian pola residual. Pengujian ini diawali dengan meregresikan nilai kuadrat residual dengan variabel bebas. Bentuk regresinya adalah sebagai berikut:

RES² = f (X1, X2, X3, X1², X2², X3 ²)

Selanjutnya proses pengujian dapat menggunakan uji F(n,k) atau uji c² dengan nilai tabel terkait dengan nilai R², yaitu nR². (Judge, 1985: 453; Ramanathan, 1989: 455-456; Thomas, 1996: 287, White, 1980: 483-499 ).

The Harvey’s test. Uji ini dalam khasanah ekonometri termasuk dalam kategori multiplicative heteroschedasticity. Pengujian Harvey ini didasarkan atas tabel statistik chi-square. ( Judge, 1985: 439-441; Harvey, 1976: 461-465).

The Glejser test. Uji Glejser ini sebenarnya merupakan kelanjutan dari uji nonparametric Park. Glejser beranggapan bahwa pengujian Park masih belum cukup untuk mengindikasi gejala heteroskedastisitas. Maka, Glejser mengusulkan untuk meregresikan nilai absolut residual dari variabel bebasnya. ( Judge, 1985:431-434).

Autoregressive Conditional Heteroskedastisitas (ARCH). Secara tradisional asumsi heteroskedastisitas diarahkan pada data cross section. Sedangkan untuk data time series kesalahan pengganggu dimodelkan dalam proses stochastic yang pemodelannya kebanyakan didasarkan atas asumsi homoskedastisitas. Dasar pemikiran model ARCH ini adalah bahwa varian dari kesalahan penggangu error pada periode t (yang berarti sama dengan s2 ) tergantung pada ukuran squared error term pada periode (t-1). Keputusan dari pengujian ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel chi-square atau mengunakan uji F standar. (Judge, 1985:441-444; Thomas, 1996: 310-311; Gujarati, 1995:436-438).

The Breusch-Pagan-Godfrey test. Uji ini merupakan penyempurnaan uji Goldfeld-Quandt. Uji G-Q memiliki kemampuan yang memuaskan untuk diterapkan pada sampel kecil sedangkan B-P-G dapat diterapkan secara memuaskan untuk sampel besar. Pemikiran inti model uji B-P-G ini adalah var(e) = f ( k + aZ1 + bZ2 +…). Z merupakan variabel yang diduga mempengaruhi kesalahan penggangu varian, yang mungkin tercakup di dalamnya sejumlah explanatory variables yang ada di persamaan estimasi maupun variabel lain di luar persamaan yang diperkirakan akan mempengaruhi var (e). (Judge, 1985: 446-447; Thomas, 1996:287-288; Breusch and Pagan, 1979:1287-1294)

Uji-uji asumsi homoskedastisitas di atas telah tersedia dalam satu bentuk paket software ekonometri. Dalam kesempatan ini, penulis menggunakan dua macam software yaitu MicroTSP v.7 dan Shazam v.6.2. Sebagai upaya untuk memperjelas pengujian di atas maka akan diambil sebuah kasus permintaan untuk pangan dengan menggunakan sampel permintaan pangan di negara Jepang yang datanya bersumber pada OECD National Accounts.

Dengan mengunakan model dasar permintaan pangan Q = f (X, P, G), dimana Q adalah jumlah makanan yang diminta, X pengeluaran total masyarakat, P indeks harga untuk makanan, dan G indeks harga umum. Selanjutnya variabel-variabel tersebut didefinisikan sebagai berikut:

Q = NTE = total expenditure in current prices

X = RTE = total expenditure in constant prices 1980

P = expenditure on food in current prices (NF) : expenditure on food in constant prices 1980 (RF)

G = NTE : RTE

Selanjutnya, model estimasi yang akan dioperasionalkan memiliki bentuk double log seperti di bawah ini:

L(RF) = konstanta + a L(NTE) + b L(P) + c L(G) + e

dimana L merupakan bentuk logaritma natural (logaritma dengan bilangan basis bilangan alamiah, e).

Hasil perhitungan untuk mendeteksi adanya gejala heteroskedastisitas terhadap model di atas adalah sebagai berikut:

Tabel 1:

Print Out Software MicroTSP v.7.0 : Estimasi OLS

Setelah melakukan regresi dengan menggunakan OLS maka langkah selanjutnya adalah menguji hasil estimasi di atas dengan uji heteroskedastisitas. Untuk itu, tabel 2 akan menyajikan uji White yang menggunakan software MicroTSP v.7.0 dan tabel 3 akan menyajikan uji B-P-G, uji ARCH, uji Harvey, uji Glejser.

Tabel 2:

Print Out Software MicroTSP v.7.0 : Uji White

Dari uji White di atas, yang perlu diperhatikan adalah uji F(23,6) yang sebesar 3,784. Dengan F (23,6) tabel sebesar 3,76 pada taraf 1% maka dapat disimpulkan bahwa kehadiran heteroskedastisitas dapat terdeteksi. Demikian pula halnya dengan uji yang terdapat dalam tabel 3. Untuk chi-square tabel dengan derajad kebebasan 1 adalah 5,023 (probabilitas 2,5%) sedangkan untuk derajad kebebasan 3 adalah 9,348 (probabilitas 2,5%). Dari tabel 3 dapat terlihat bahwa terdapat kecenderungan model yang terbentuk juga mengalami heteroskedastisitas.

Dengan terdeteksinya gejala heteroskedastisitas maka memaksakan diri untuk menggunakan model estimasi OLS akan berakibat hasil estimasi tidak efisien, yang dampak ikutannya adalah prosedur standar pengujiannya tidak dapat dijadikan pegangan (dubious value). Ketidak mampuan hasil uji standarnya karena terdapat perbedaan nilai varian di bawah kondisi heteroskedastisitas dengan di bawah kondisi homoskedastisitas sebagaimana diasumsikan.(Thomas, 1996:283-284).

Tabel 3:

Print Out Software Shazam v.6.2: Uji Heteroskedastisitas

GENERAL LEAST SQUARE

Apabila efisiensi estimator dianggap lebih penting daripada sifat unbiased dan konsisten apabila berada di bawah kondisi heteroskedastisitas, maka model estimasi GLS lebih tepat untuk digunakan daripada model estimasi OLS. Yang dilakukan pada pembentukan model estimasi GLS ini pada dasarnya ada dua, yaitu melakukan transformasi data dasar analisis dan menerapkan model OLS terhadap data yang telah ditransformasikan. Anggap saja model yang akan diestimasi adalah sebagai berikut

Yt = a + bXt + et ..……………………...………………………………………...(1

dimana et berada di bawah kondisi heteroskedastisitas, sehingga var(et) = s²i . Hal penting yang perlu diperhatikan adalah, apabila kita mentransformasikan kesalahan penggangu et melalui cara membaginya dengan si maka kita akan memiliki kesalahan penggangu yang baru, yaitu et* = et /si , yang memiliki varian konstan, yaitu

var (et *) = var(et /si )= (1/ s²i) var(et ) = (1/s²i ) s²i = 1 …………...…(2

Apabila dilakukan transformasi terhadap persamaan (1) dalam bentuk membaginya dengan si , maka kita akan memiliki kesalahan penggangu yang bersifat homoskedastisitas:

Yt / si = a(1/ si ) + b(Xt / si )+ et /si ……………………………………….(3a

Yang secara ringkas dapat dituliskan sebagai berikut:

Yt * = aV + bXt *+ et* ….……………………………………………………(3b

Hal penting yang perlu dicatat dari persamaan (3b) adalah bahwa persamaan tersebut sekarang tidak memiliki konstanta, karena konstanta sudah berubah menjadi variabel sebagai akibat dari proses pembagian dengan si yang dapat dianggap sebagai penimbang (weighted).

Apabila dalam model estimasi OLS residualnya diminimasi, maka pada model estimasi GLS-pun residual juga terminimasi. Perbedaannya hanya terletak pada, apabila OLS terminimasi secara langsung sedangkan GLS terminimasi secara tidak langsung. Bentuk kuadrat residual dari model estimasi GLS dengan menggunakan penimbang dapat dilihat sebagai berikut:

å(ei / si)² = åliei² ……………..……………………………………………(4

dimana l i = 1/si² merupakan penimbang. ( Thomas, 1996: 290-291; Judge, 1985: 174-177 dan 419-422).

Dengan menggunakan contoh kasus permintaan pangan yang terdeteksi gejala heteroskedastisitasnya, model estimasi GLS dapat dilihat pada tabel 4 berikut ini.(Prosedur penghitungan estimasi GLS dapat dilihat pada lampiran 2).

Tabel 4:

Print Out Penghitungan GLS
dengan menggunakan Software MicroTSP v.7.0

Dari tabel 4 terlihat adanya konsistensi hasil perhitungan antara GLS dengan model OLS , baik dalam nilai koefisiennya maupun dalam hal pengujiannya. Demikian juga halnya, apabila kedua model estimasi tersebut diuji tingkat normalitasnya, korelasi serialnya, dan stabilitas strukturalnya. (lihat Lampiran 3 dan Lampiran 4). Model estimasi GLS ini tidak memerlukan pengujian heteroskedastisitas lagi karena secara otomatis model GLS sudah terbebas dari gejala heteroskedastisitas berdasarkan persamaan (2).

KESIMPULAN

Dari perbandingan hasil perhitungan antara model estimasi OLS dengan GLS terlihat bahwa GLS merupakan alternatif model estimasi yang baik untuk berhadapan dengan gejala heteroskedastisitas. Hal tersebut dikarenakan, di samping GLS memiliki kemampuan untuk menetralisir akibat pelanggaran asumsi homoskedastisitas, model GLS juga tidak kehilangan sifat unbiased dan konsistensi dari model estimasi OLS.

Namun demikian, yang tidak boleh dilupakan adalah keputusan penggunaan GLS haruslah didasarkan atas pertimbangan bahwa efisiensi estimator memang dipandang perlu untuk dipertahankan. Dan apabila efisiensi estimator dari suatu model dirasa tidak perlu dipertahankan maka penggunaan model estimasi GLS menjadi pekerjaan yang tidak memberi manfaat apapun.

REFERENSI

Breusch, T.S., and A.R. Pagan, 1979, A Simple Test of Heteroschedasticity and Random Coefficient Variation, Econometrica, 47, : 1287-1294.

Cragg, J.G., 1983, More Efficient Estimation in the Presence of Heteroschedasticity of Unknown Form, Econometrica, 51, : 751-764.

Greenberg, E., 1980, Finite Sample Moments of Preliminary Test Estimator in the Case of Possible Heteroschedasticity, Econometrica, 48, : 1805-1813.

Gujarati, D., 1995, Basic Econometrics, McGraw-Hill Inc.,

Harvey, A.C., 1976, Estimating Regression Models with Multiplicative Heteroschedasticity, Econometrica, 44, : 461-465.

Judge, G.G. (et.al), 1985, The Theory and Practice of Econometrics, John Wiley and Sons.

Ramanathan, R., 1989, Introductory Econometrics with Applications, Harcourt Brace Jovanovich, Pub..

Thomas, R.L., 1996, Modern Econometrics: An Introduction, Addison-Wesley.

White, H., 1980, A Heteroschedasticity Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroschedasticity, Econometrica, 50, : 483-499.

Lampiran 1: Data Dasar Analisis

NF

RF

NTE

RTE

4689

34274

20279

170874

4889

34695

21643

176044

5059

34673

23044

178493

5297

35054

24373

181550

5485

35631

25618

185985

5696

35817

27591

191209

6035

35919

29292

192366

6429

36280

31907

197873

7105

36312

35763

204139

7614

36248

40439

216752

8751

37120

46213

228615

12313

36470

53256

225317

12313

36480

65590

224580

14459

36866

76225

225666

16596

36547

87165

224892

18373

37217

100524

236909

20988

38046

119212

247212

23655

38095

138564

247185

24946

37849

154274

247402

26490

37942

169372

249852

28061

38582

185611

261200

29274

37925

198820

266486

30657

38402

217485

276742

32574

39610

241554

295622

34402

40621

265290

311234

36491

41542

299449

334591

39143

42249

327363

345406

41816

41816

347527

347527

44061

41880

364972

339915

45476

42581

382240

339946

Sumber: OECD National Accounts

1 komentar: