GENERAL LEAST SQUARE

JURNAL BISNIS DAN EKONOMI, MARET 1999

GENERAL LEAST SQUARE : SOLUSI ATAS GEJALA

HETEROSKEDASTISITAS

Oleh : Sri Nawatmi dan Agung Nusantara

STIE Stikubank Semarang

ABSTRAK

Penyimpangan asumsi homoskedastisitas terhadap operasi OLS sekalipun tidak merusak sifat unbiased dan konsistensinya, namun merusak efisiensi estimatornya. Rusaknya sifat efisiensi estimator OLS tersebut menyebabkan hasil pengujian hipotesisnya menjadi meragukan.

GLS, sebagai salah satu bentuk estimasi least square, merupakan bentuk estimasi yang dibuat untuk mengatasi sifat heteroskedastisitas yang memiliki kemampuan untuk mempertahankan sifat efisiensi estimatornya tanpa harus kehilangan sifat unbiased dan konsistensinya.

PENDAHULUAN

Estimasi Ordinary Least Square (OLS), sebagai salah satu bentuk estimasi Least Square (LS), merupakan bentuk estimasi yang paling banyak dipelajari dan digunakan sebagai alat analisis. Kepopuleran OLS sebenarnya lebih didorong oleh kesederhanaan bentuk analisisnya. Namun, sebagai alat yang sederhana, maka OLS perlu didukung oleh kondisi data ideal, sebagaimana ditunjukkan oleh asumsi klasik OLS.

Ada beberapa asumsi klasik yang harus dipenuhi oleh bentuk estimasi OLS agar hasil estimasinya dapat diandalkan. Salah satu asumsi penting yang akan dibicarakan dalam tulisan ini adalah asumsi homoskedastisitas. Asumsi homoskedastisitas ini berkaitan dengan kesalahan penggangu (e ). Asumsi ini dirumuskan sebagai var (e ) = E(e_i - Ee_i )² = E(e ² ) = s² = konstan untuk semua i. Sifat heteroskedastisitas potensial untuk dialami oleh data cross-section yang biasanya merupakan data hasil rata-rata dari suatu wilayah. Disamping itu gejala heteroskedastisitas ini juga potensial untuk dialami oleh model random coefficient, sebagaimana yang diperkenalkan oleh Hildreth-Houck (Judge, 1985:419-420; Thomas, 1996: 279-282).

PENDETEKSIAN HETEROSKEDASTISITAS

Ada berbagai cara untuk dapat mendeteksi adanya gejala heteroskedastisitas, yaitu, antara lain, the White test, Harvey test, Glejser test, ARCH test, Breusch-Pagan-Godfrey test. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan serba ringkas mengenai pengujian-pengujian tersebut.

The White’s test. Uji ini didasarkan atas pendekatan formal terhadap jenis pencarian pola residual. Pengujian ini diawali dengan meregresikan nilai kuadrat residual dengan variabel bebas. Bentuk regresinya adalah sebagai berikut:

RES² = f (X₁, X₂, X₃, X₁², X₂², X₃ ²)

Selanjutnya proses pengujian dapat menggunakan uji F(n,k) atau uji c² dengan nilai tabel terkait dengan nilai R², yaitu nR². (Judge, 1985: 453; Ramanathan, 1989: 455-456; Thomas, 1996: 287, White, 1980: 483-499 ).

The Harvey’s test. Uji ini dalam khasanah ekonometri termasuk dalam kategori multiplicative heteroschedasticity. Pengujian Harvey ini didasarkan atas tabel statistik chi-square. ( Judge, 1985: 439-441; Harvey, 1976: 461-465).

The Glejser test. Uji Glejser ini sebenarnya merupakan kelanjutan dari uji nonparametric Park. Glejser beranggapan bahwa pengujian Park masih belum cukup untuk mengindikasi gejala heteroskedastisitas. Maka, Glejser mengusulkan untuk meregresikan nilai absolut residual dari variabel bebasnya. ( Judge, 1985:431-434).

Autoregressive Conditional Heteroskedastisitas (ARCH). Secara tradisional asumsi heteroskedastisitas diarahkan pada data cross section. Sedangkan untuk data time series kesalahan pengganggu dimodelkan dalam proses stochastic yang pemodelannya kebanyakan didasarkan atas asumsi homoskedastisitas. Dasar pemikiran model ARCH ini adalah bahwa varian dari kesalahan penggangu error pada periode t (yang berarti sama dengan s² ) tergantung pada ukuran squared error term pada periode (t-1). Keputusan dari pengujian ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel chi-square atau mengunakan uji F standar. (Judge, 1985:441-444; Thomas, 1996: 310-311; Gujarati, 1995:436-438).

The Breusch-Pagan-Godfrey test. Uji ini merupakan penyempurnaan uji Goldfeld-Quandt. Uji G-Q memiliki kemampuan yang memuaskan untuk diterapkan pada sampel kecil sedangkan B-P-G dapat diterapkan secara memuaskan untuk sampel besar. Pemikiran inti model uji B-P-G ini adalah var(e) = f ( k + aZ1 + bZ2 +…). Z merupakan variabel yang diduga mempengaruhi kesalahan penggangu varian, yang mungkin tercakup di dalamnya sejumlah explanatory variables yang ada di persamaan estimasi maupun variabel lain di luar persamaan yang diperkirakan akan mempengaruhi var (e). (Judge, 1985: 446-447; Thomas, 1996:287-288; Breusch and Pagan, 1979:1287-1294)

Uji-uji asumsi homoskedastisitas di atas telah tersedia dalam satu bentuk paket software ekonometri. Dalam kesempatan ini, penulis menggunakan dua macam software yaitu MicroTSP v.7 dan Shazam v.6.2. Sebagai upaya untuk memperjelas pengujian di atas maka akan diambil sebuah kasus permintaan untuk pangan dengan menggunakan sampel permintaan pangan di negara Jepang yang datanya bersumber pada OECD National Accounts.

Dengan mengunakan model dasar permintaan pangan Q = f (X, P, G), dimana Q adalah jumlah makanan yang diminta, X pengeluaran total masyarakat, P indeks harga untuk makanan, dan G indeks harga umum. Selanjutnya variabel-variabel tersebut didefinisikan sebagai berikut:

Q = NTE = total expenditure in current prices

X = RTE = total expenditure in constant prices 1980

P = expenditure on food in current prices (NF) : expenditure on food in constant prices 1980 (RF)

G = NTE : RTE

Selanjutnya, model estimasi yang akan dioperasionalkan memiliki bentuk double log seperti di bawah ini:

L(RF) = konstanta + a L(NTE) + b L(P) + c L(G) + e

dimana L merupakan bentuk logaritma natural (logaritma dengan bilangan basis bilangan alamiah, e).

Hasil perhitungan untuk mendeteksi adanya gejala heteroskedastisitas terhadap model di atas adalah sebagai berikut:

Tabel 1:

Print Out Software MicroTSP v.7.0 : Estimasi OLS

Setelah melakukan regresi dengan menggunakan OLS maka langkah selanjutnya adalah menguji hasil estimasi di atas dengan uji heteroskedastisitas. Untuk itu, tabel 2 akan menyajikan uji White yang menggunakan software MicroTSP v.7.0 dan tabel 3 akan menyajikan uji B-P-G, uji ARCH, uji Harvey, uji Glejser.

Tabel 2:

Print Out Software MicroTSP v.7.0 : Uji White

Dari uji White di atas, yang perlu diperhatikan adalah uji F(23,6) yang sebesar 3,784. Dengan F (23,6) tabel sebesar 3,76 pada taraf 1% maka dapat disimpulkan bahwa kehadiran heteroskedastisitas dapat terdeteksi. Demikian pula halnya dengan uji yang terdapat dalam tabel 3. Untuk chi-square tabel dengan derajad kebebasan 1 adalah 5,023 (probabilitas 2,5%) sedangkan untuk derajad kebebasan 3 adalah 9,348 (probabilitas 2,5%). Dari tabel 3 dapat terlihat bahwa terdapat kecenderungan model yang terbentuk juga mengalami heteroskedastisitas.

Dengan terdeteksinya gejala heteroskedastisitas maka memaksakan diri untuk menggunakan model estimasi OLS akan berakibat hasil estimasi tidak efisien, yang dampak ikutannya adalah prosedur standar pengujiannya tidak dapat dijadikan pegangan (dubious value). Ketidak mampuan hasil uji standarnya karena terdapat perbedaan nilai varian di bawah kondisi heteroskedastisitas dengan di bawah kondisi homoskedastisitas sebagaimana diasumsikan.(Thomas, 1996:283-284).

Tabel 3:

Print Out Software Shazam v.6.2: Uji Heteroskedastisitas

GENERAL LEAST SQUARE

Apabila efisiensi estimator dianggap lebih penting daripada sifat unbiased dan konsisten apabila berada di bawah kondisi heteroskedastisitas, maka model estimasi GLS lebih tepat untuk digunakan daripada model estimasi OLS. Yang dilakukan pada pembentukan model estimasi GLS ini pada dasarnya ada dua, yaitu melakukan transformasi data dasar analisis dan menerapkan model OLS terhadap data yang telah ditransformasikan. Anggap saja model yang akan diestimasi adalah sebagai berikut

Y_t = a + bX_t + e_{t ..}……………………...………………………………………...(1

dimana e_t berada di bawah kondisi heteroskedastisitas, sehingga var(e_t) = s²_i . Hal penting yang perlu diperhatikan adalah, apabila kita mentransformasikan kesalahan penggangu e_t melalui cara membaginya dengan s_i maka kita akan memiliki kesalahan penggangu yang baru, yaitu e_t* = e_t /s_i , yang memiliki varian konstan, yaitu

var (e_t *) = var(e_t /s_i )= (1/ s²_i) var(e_t ) = (1/s²_i ) s²_i = 1 …………...…(2

Apabila dilakukan transformasi terhadap persamaan (1) dalam bentuk membaginya dengan s_i , maka kita akan memiliki kesalahan penggangu yang bersifat homoskedastisitas:

Y_t / s_i = a(1/ s_i ) + b(X_t / s_i )+ e_t /s_i ……………………………………….(3a

Yang secara ringkas dapat dituliskan sebagai berikut:

Y_t * = aV + bX_t *+ e_t* ….……………………………………………………(3b

Hal penting yang perlu dicatat dari persamaan (3b) adalah bahwa persamaan tersebut sekarang tidak memiliki konstanta, karena konstanta sudah berubah menjadi variabel sebagai akibat dari proses pembagian dengan s_i yang dapat dianggap sebagai penimbang (weighted).

Apabila dalam model estimasi OLS residualnya diminimasi, maka pada model estimasi GLS-pun residual juga terminimasi. Perbedaannya hanya terletak pada, apabila OLS terminimasi secara langsung sedangkan GLS terminimasi secara tidak langsung. Bentuk kuadrat residual dari model estimasi GLS dengan menggunakan penimbang dapat dilihat sebagai berikut:

å(e_i / s_i)² = ål_ie_i² ……………..……………………………………………(4

dimana l _i = 1/s_i² merupakan penimbang. ( Thomas, 1996: 290-291; Judge, 1985: 174-177 dan 419-422).

Dengan menggunakan contoh kasus permintaan pangan yang terdeteksi gejala heteroskedastisitasnya, model estimasi GLS dapat dilihat pada tabel 4 berikut ini.(Prosedur penghitungan estimasi GLS dapat dilihat pada lampiran 2).

Tabel 4:

Print Out Penghitungan GLS

dengan menggunakan Software MicroTSP v.7.0

Dari tabel 4 terlihat adanya konsistensi hasil perhitungan antara GLS dengan model OLS , baik dalam nilai koefisiennya maupun dalam hal pengujiannya. Demikian juga halnya, apabila kedua model estimasi tersebut diuji tingkat normalitasnya, korelasi serialnya, dan stabilitas strukturalnya. (lihat Lampiran 3 dan Lampiran 4). Model estimasi GLS ini tidak memerlukan pengujian heteroskedastisitas lagi karena secara otomatis model GLS sudah terbebas dari gejala heteroskedastisitas berdasarkan persamaan (2).

KESIMPULAN

Dari perbandingan hasil perhitungan antara model estimasi OLS dengan GLS terlihat bahwa GLS merupakan alternatif model estimasi yang baik untuk berhadapan dengan gejala heteroskedastisitas. Hal tersebut dikarenakan, di samping GLS memiliki kemampuan untuk menetralisir akibat pelanggaran asumsi homoskedastisitas, model GLS juga tidak kehilangan sifat unbiased dan konsistensi dari model estimasi OLS.

Namun demikian, yang tidak boleh dilupakan adalah keputusan penggunaan GLS haruslah didasarkan atas pertimbangan bahwa efisiensi estimator memang dipandang perlu untuk dipertahankan. Dan apabila efisiensi estimator dari suatu model dirasa tidak perlu dipertahankan maka penggunaan model estimasi GLS menjadi pekerjaan yang tidak memberi manfaat apapun.

REFERENSI

Breusch, T.S., and A.R. Pagan, 1979, A Simple Test of Heteroschedasticity and Random Coefficient Variation, Econometrica, 47, : 1287-1294.

Cragg, J.G., 1983, More Efficient Estimation in the Presence of Heteroschedasticity of Unknown Form, Econometrica, 51, : 751-764.

Greenberg, E., 1980, Finite Sample Moments of Preliminary Test Estimator in the Case of Possible Heteroschedasticity, Econometrica, 48, : 1805-1813.

Gujarati, D., 1995, Basic Econometrics, McGraw-Hill Inc.,

Harvey, A.C., 1976, Estimating Regression Models with Multiplicative Heteroschedasticity, Econometrica, 44, : 461-465.

Judge, G.G. (et.al), 1985, The Theory and Practice of Econometrics, John Wiley and Sons.

Ramanathan, R., 1989, Introductory Econometrics with Applications, Harcourt Brace Jovanovich, Pub..

Thomas, R.L., 1996, Modern Econometrics: An Introduction, Addison-Wesley.

White, H., 1980, A Heteroschedasticity Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroschedasticity, Econometrica, 50, : 483-499.

Lampiran 1: Data Dasar Analisis

NF	RF	NTE	RTE
4689	34274	20279	170874
4889	34695	21643	176044
5059	34673	23044	178493
5297	35054	24373	181550
5485	35631	25618	185985
5696	35817	27591	191209
6035	35919	29292	192366
6429	36280	31907	197873
7105	36312	35763	204139
7614	36248	40439	216752
8751	37120	46213	228615
12313	36470	53256	225317
12313	36480	65590	224580
14459	36866	76225	225666
16596	36547	87165	224892
18373	37217	100524	236909
20988	38046	119212	247212
23655	38095	138564	247185
24946	37849	154274	247402
26490	37942	169372	249852
28061	38582	185611	261200
29274	37925	198820	266486
30657	38402	217485	276742
32574	39610	241554	295622
34402	40621	265290	311234
36491	41542	299449	334591
39143	42249	327363	345406
41816	41816	347527	347527
44061	41880	364972	339915
45476	42581	382240	339946

Sumber: OECD National Accounts